domingo, 13 de abril de 2008

VENN EULER

Orígenes e Historia

Ventanal en el comedor del Gonville and Caius College, Cambridge, conmemorando la estancia de Venn y su principal descubrimiento
Los diagramas de Venn reciben el nombre de su creador,
John Venn, matemático y filósofo británico. Estudiante y más tarde profesor en el Caius College de la Universidad de Cambridge, desarrolló toda su producción intelectual entre esas cuatro paredes.
Venn introdujo el sistema de representación que hoy conocemos en julio de
1880 con la publicación de su trabajo titulado « De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos»[1] [2] [3] en el Philosophical Magazine and Journal of Science, provocando un cierto revuelo en el mundo de la lógica formal. Aunque la primera forma de representación geométrica de silogismos lógicos se atribuye comúnmente a Gottfried Leibniz, y fue luego ampliada por George Boole y Augustus De Morgan, el método de Venn superaba en claridad y sencillez a los sistemas de representación anteriores, hasta el punto de convertirse con el tiempo en un nuevo estándar. Venn fue el primero en formalizar su uso y en ofrecer un mecanismo de generalización para los mismos.
Más adelante desarrolló algo más su nuevo método en su libro Lógica simbólica, publicado en
1881 con el ánimo de interpretar y corregir los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Aunque no tuvo demasiado éxito en su empeño, su libro se convirtió en una excelente plataforma de ejemplo para el nuevo sistema de representación. Siguió usándolo en su siguiente libro sobre lógica (Los principios de la lógica empírica, publicado en 1889), con lo que los diagramas de Venn fueron a partir de entonces cada vez más empleados como representación de relaciones lógicas.
La primera referencia escrita al término "diagrama de Venn" de la que se tiene constancia es muy tardía (
1918), en el libro A Survey of Symbolic Logic, de Clarence Irving Lewis.[4] [5] [6]
Los diagramas de Venn se emplean hoy día para enseñar matemáticas elementales y para reducir la lógica y la Teoría de conjuntos al cálculo simbólico puro. Se suelen usar también en el aula diagramas de Venn de dos o tres conjuntos como herramienta de síntesis, para ayudar a los estudiantes a comparar y contrastar dos o tres de elementos; en este uso, se incluyen dentro de cada elemento las características exclusivas, y en las intersecciones, las comunes con los otros.

Tipos de diagramas de Venn :

Diagrama de dos conjuntos :

Conjuntos A y B
Considérese el ejemplo a la derecha: supóngase que el conjunto A (el círculo naranja) representa, por ejemplo, a todas las criaturas vivas con solo dos piernas motrices y que el conjunto B (el círculo azul) contiene a todas las criaturas que pueden volar. El área donde ambos círculos se superponen (que recibe el nombre de intersección entre A y B, o intersección A - B) contendría por tanto todas las criaturas que, al mismo tiempo, pueden volar y tienen sólo dos piernas motrices.
Imaginemos ahora que cada tipo distinto de criatura viva está representado con un punto situado en alguna parte del diagrama. Los
humanos y los pingüinos estarían dentro del círculo naranja (el conjunto A) en la parte en la que no se superpone con el círculo azul (el conjunto B), ya que ambos son bípedos y no pueden volar. Los mosquitos, que tienen seis piernas motrices y pueden volar, estarían representados con un punto dentro del círculo azul fuera de la intersección A - B. Los loros, que tienen dos piernas motrices y pueden volar, estarían representados por un punto dentro de la intersección A - B. Cualquier tipo de criatura que ni tuviera dos piernas ni pudiera volar (como por ejemplo las ballenas o las serpientes), estaría representado mediante puntos fuera de ambos círculos.
El diagrama de Venn representado en el ejemplo 1 puede describirse como la relación entre el conjunto A y el conjunto B. El área combinada de ambos conjuntos recibe el nombre de unión de los conjuntos A y B. La unión en este caso contiene todos los tipos de criaturas que tienen dos piernas, pueden volar, o ambas cosas a la vez. El área donde los conjuntos A y B se solapan se define como la intersección de A y B. Contiene todos los tipos de criaturas que pertenecen a la vez a A y a B, es decir, que tienen dos piernas y pueden volar.

Diagrama de Venn mostrando todas las intersecciones posibles entre tres conjuntos A, B y C.
Un diagrama de Venn de dos conjuntos define 4 áreas diferentes (la cuarta es la exterior), que pueden unirse en 6 posibles combinaciones:
A (dos patas)
A y B (dos patas y vuelan)
A y no B (dos patas y no vuelan)
no A y B (más o menos de dos patas, y vuelan)
no A y no B (ni tienen dos patas ni vuelan)
B (vuelan)
A veces se incluye un rectángulo alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de
universo de discurso (antes se creía en la existencia de un conjunto universal pero Bertrand Russell descubrió que con tal concepto el sistema es inconsistente véase paradoja de Russell). Se usa para representar el conjunto de todas las cosas posibles. La definición del universo, al igual que la de los conjuntos, depende del diagrama sobre el que se representa. La idea de conjunto universal, aunque fue apuntada por el propio Venn, se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll.

Diagramas de tres conjuntos :
Los diagramas de tres conjuntos fueron los más corrientes elaborados por Venn en su presentación inicial. Las distintas intersecciones de los tres conjuntos A, B y C definen ocho areas diferentes, cuyas posibles uniones suponen 256 combinaciones distintas de los tres conjuntos iniciales.

Más de tres conjuntos:
La dificultad de representar más de tres conjuntos mediante diagramas de Venn (o cualquier otra representación gráfica) es evidente. Venn sentía afición a la búsqueda de diagramas para más de tres conjuntos, a los que definía como "figuras simétricas, elegantes en sí mismas". A lo largo de su vida diseñó varias de estas representaciones usando elipses, así como indicaciones para la creación de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres círculos.
Diagramas de Euler :


Los diagramas de Euler son similares a los de Venn, pero no necesitan todas las posibles relaciones. Los diagramas de Euler permiten representar inclusión de una clase en otra. Por ejemplo, en el representado a la derecha un conjunto (el A) está totalmente incluido en otro (el B), mientras que otro (el C) no tiene ninguna relación con los dos anteriores.
Los diagramas de Euler anteceden a los diagramas de Venn,
[7] pero son distintos. Fueron introducidos por Euler para ayudar en la comprensión. John Venn intenta rectificar algunas deficiencia a través de los Diagramas de Venn.
Supongamos que el conjunto A representa todos los tipos de
queso que pueden encontrarse en el mundo, y el B representa a todos los comestibles existentes en el mundo. Según el diagrama, se ve claramente que todos los quesos son comestibles, pero no todos los comestibles son quesos. Si definimos el conjunto C como el de las cosas hechas de metal, el diagrama nos permite representar de forma evidente dos afirmaciones adicionales: los comestibles no están hechos de metal, y las cosas hechas de metal no son comestibles.


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